Ansatz

Gegeben:

• Wärmekapazität von Wasser bei 20°C/1013hPa c: $4,1819 \frac{kJ}{kg \cdot K}$
• Temperaturdifferenz ΔT: 36,5°C-12°C = 24,5°C - entspricht einer Differenz von 24,5K
• Masse m des Wassers: 3kg
• Umrechnung von KJ in kcal: 1kcal entspricht 4,186KJ
• Die Änderung der inneren Energie -ΔU entspricht der zugeführten Wärmemenge Q.

Allgemein gilt:

$$ Q = c \cdot m \cdot \Delta T $$

Einsetzen:

$$ Q = 4,1819 \frac{kJ}{kg \cdot K} \cdot 3kg \cdot 24,5K \approx 307,4kJ \approx 73,4kcal $$

Ergebnis

Bei Erwärmen von 3L Wasser (12°C) um 24,5K wird etwa eine Energiemenge von 307,4KJ oder 73,4kcal verbraucht (100g Schokolade haben etwa 540kcal).

Ansatz

Die Reaktionswärme Q_r ist hier nur auf ein Mol bezogen und nicht auf die tatsächlich gesuchte Masse hin angegeben. Daher müssen wir diese Aufgabe in zwei Schritten lösen.

1. Um wie viel Kelvin würden 500mL Wasser von einem Mol Natriumhydroxid erwärmt werden?
2. Welche Masse an Natriumhydroxid würde eine Erwärmung von 10K bewirken?

Dabei nutzen wir aus, dass alle Werte im Prinzip proportional zueinander sind.

Gegeben:

• Wärmekapazität von Wasser bei 20°C/1013hPa c: $4,2 \frac{kJ}{kg \cdot K}$
• Temperaturdifferenz ΔT: 30°C-20°C = 10°C - entspricht einer Differenz von 10K
• Masse m des Wassers: V=0,5l → 0,5kg
• Molare Reaktionswärme Q_r: $44,5 \frac{kJ}{mol}$
• Molare Masse M von Natriumhydroxid: $40 \frac{g}{mol}$

Gesucht:

Im 1. Schritt: ΔT für c=4,2kJ/m⋅K / m=0,5kg / Q = 44,5 kJ/mol
Im 2. Schritt: m für ΔT=10K

Allgemein gilt:

$$\Delta T = \frac{Q}{m \cdot c}$$

Einsetzen:

$$\Delta T = \frac{44,5 \frac{kJ}{mol}}{0,5kg \cdot 4,2 \frac{kJ}{kg \cdot K}} \approx 21,2\frac{K}{mol} $$

1mol (40g) Natriumhydroxid würden 0,5L Wasser um 21,2K erwärmen.

Welche Masse an Natriumhydroxid würde 0,5L Wasser um 10K erwärmen?

„40g verhalten sich zu einer Temperaturerhöhung von 21,2K wie xg zu einer Temperaturerhöhung von 10K.“ - Formalisiert:

\begin{align*} \frac{40g}{21.2K} & = \frac{xg}{10K} \space \space \bigg \vert \cdot 10K \\ \frac{40g \cdot 10K}{21.2K} & = xg \\ x & \approx 18,9g \end{align*}

Etwa 18,9g Natriumhydroxid müssen eingesetzt werden, um 0,5L Wasser um 10K (10°C) zu erwärmen.

Ansatz

Die Aufgabe erfordert mehrere Schritte:

1. Es muss die erforderliche Engergiemenge Q berechnet werden, die der Sand speichern können muss.
2. Es muss die Masse an trockenem Sand berechnet werden, die diese Energiemenge bei der angegebenen Temperaturdifferenz aufnehmen kann.
3. Aus der Masse kann über die Dichte das Volumen bestimmt werden.
4. Das Volumen muss mit einem Korrekturfaktor von 1,35 multipliziert werden, um die Energieversluste zu berücksichtigen.

Gegeben:

• Wärmekapazität von Sand: $0,5 \frac{kJ}{kg \cdot K}$
• Temperaturdifferenz ΔT: 400°C-15°C = 385°C - entspricht einer Differenz von 385K
• Energiemenge Q: 10000kwh → 10000*3600kJ = 36000000kJ
• Dichte δ: 1900kg/m³
• Energieverlust: 35%

Gesucht:

V(Sand)

Allgemein gilt:

$$m = \frac{Q}{c⋅ΔT}$$ $$V = \frac{m}{\rho}$$ $$V_{Verlust}=V \cdot 1,35 $$

Einsetzen:

$$m_{Sand} = \frac{36000000kJ}{0,5 \frac{kJ}{kg \cdot K} \cdot 385 K } \approx 187013kg $$ $$V_{Sand} = \frac{187013kg}{1900 \frac{kg}{m^3}} \approx 98,4m^3$$ $$V_{Verlust} = 98,4m^3 \cdot 1,35 \approx 133m^3 $$

Der Sandspeicher müsste ein Innenvolumen von ca. 133m³ aufweisen, damit er die erforderliche Wärmemenge speichern kann. Das entspricht einem Schwimmbecken mit einer Länge von 14m, einer Breite von 5m und einer Tiefe von 1,9m.

Ansatz

Fehlerabschätzung läuft oft darauf hinaus, den vereinfachten Wert in Relation zum genauen Wert zu setzen. Wir vergleichen also:

• den in diesem gesamten Temperaturintervall berechneten vereinfachten Wert
• mit dem genauen Wert, den wir durch Aufaddieren von Einzelschritten in Intervallen von 1K ermitteln.

gegeben:

• Vereinfachter Wert für Wärmekapazität von Wasser bei 20°C/1013hPa c: $4,2 \frac{kJ}{kg \cdot K}$
• Genaue Werte für c gemäß Tabelle
• Temperaturdifferenz ΔT: 37°C-12°C = 25°C - entspricht einer Differenz von 25K
• Temperaturdifferenz in Einzelschritten von 1K, die aufaddiert werden
• Masse des Wassers m: 1kg (leicht zu rechnen)

allgemein gilt

$$Q = c\cdot m \cdot \Delta T$$

Vereinfachter Wert:

$$Q_{idealisiert} = 4,2 \frac{kJ}{kg \cdot K} \cdot 1kg \cdot 25K = 105kJ $$

Genauer Wert:

Wir dürfen die erste Zahl in der Tabelle nicht mitrechnen, da von dieser Temperatur der erste 1K-Schritt erst erfolgt.

$$Q_{genau} = 4,1888 \frac{kJ}{kg \cdot K} \cdot 1kg \cdot 1K + 4,1880 \frac{kJ}{kg \cdot K} \cdot 1kg \cdot 1K + \space ... \space + 4,1783 \frac{kJ}{kg \cdot K} \cdot 1kg \cdot 1K = 104,5215kJ $$

Abweichung:

$$A = Q_{idealisiert}-Q_{genau} = 105kJ-104,5215kJ \approx 0,48 $$

Bezogen auf den idealisieren Wert ist das einen Abweichung von rund 0,46%, also zu vernachlässigen für schulische Beispielrechnungen.