Bei einer chemischen Reaktion findet ein Energieumsatz statt. Energie kann dabei in unterschiedlichen Formen auftreten (Wärmeenergie, elektrische Energie, Volumenabeit usw.. Die molare Standardreaktionsenthalpie Δ_RH_m⁰ ist äquivalent zur Wärmemenge Q, die bei der Reaktion von einem Mol eines Stoffes bei Standardbedingungen (p=1013hPa, T=298K) frei wird.

Die molare Standardbildungsenthalpie Δ_fH_m⁰ ist ein Sonderfall der molare Standardreaktionsenthalpie Δ_RH_m⁰ (Gleichung 2), wenn ein Stoff aus den Elementen gebildet wird (Gleichung 1), bzw. in der Reaktionsgleichung ausschließlich Elemente auf der linken Seite stehen.

(1) Fe + S → FeS; exotherm, Q_m = Δ_fH_m⁰
(2) CO + 1/2O₂ → CO₂; exotherm, Q_m = Δ_RH_m⁰

Bei einer exothermen Reaktion gibt das System Energie an die Umgebung ab. Dadurch sinkt seine innere Energie U um die Betrag dieser Energieabgabe. Bei einer endothermen Reaktion nimmt das System Energie aus der Umgebung auf. Dadurch steigt seine innere Energie U um die Betrag dieser Energieaufnahme. Aus Sicht des System ist bei einem exothermen Vorgang daher die Definition einer negativen Energiebilanz sinnvoll, bei endothermen Vorgängen entsprechend umgekehrt.

gegeben:
V(Pool) = 8m⋅3m⋅1,6m = 38,4m³
m(Wasser) = 38400kg
c_Wasser = 4,19 kJ⋅kg^-1⋅K^-1
ΔT = 294K-291K = 3K

allgemein gilt:
(1) Q = c_p⋅m⋅ΔT

einsetzen:
Q = 4,19 kJ⋅kg^-1⋅K^-1⋅38400⋅3 = 482688kJ

Antwort:
Es wird eine Energiemenge von 482688kJ benötigt.

gegeben:
Δ_RH_m⁰ = -890kJ/mol (Verbrennungswärme von Methan)
V_m = 22,4l (molares Volumen idealer Gase)
Preis(Methan) = 11ct/m³
Q = 482688kJ
Verluste: 20%

allgemein gilt:
(1) 1 Mol Methan gibt 890kJ an Wärmeenergie ab. Der Quotient aus Energiemenge und molarer Verbrennungswärme liefert die benötigte Stoffmenge an Methan.
(2) Das Produkt aus Stoffmenge und molarem Volumen liefert das benötigte Volumen an Methan.
(3) Das Produkt aus Volumen in m³, Preis in ct/m³ und 1,2 (Verluste) liefert den Preis.

Rechnung:
(1) Q/V_m = 482688kJ/890kJ⋅mol^-1 ≈ 542,3mol
(2) n⋅22,4l = 12147,52l ≈ 12,1m³
(3) 12,1m³⋅11ct/m³⋅1,2 = 159,72ct = 1,5972 Euro

Das Aufheizen des Pools kostet etwa 1,60 Euro beim momentanen Energiepreis..

Es soll eine Temperaturerhöhung ΔT von 55K für 200g Kaffee (= 0,2kg) erreicht werden. Bekannt ist die auf ein Mol bezogene Wärmemenge, die bei der Reaktion von festem Calciumoxid frei wird: Δ_RH = -65kJ/mol.

gegeben:
ΔT = 55K
m(Kaffee) = 200g = 0,2kg
c_Wasser = 4,19 kJ⋅kg^-1⋅K^-1
Δ_RH = -65kJ/mol
M(CaO) = M(Ca) + M(O) = 56g

allgemein gilt:
(1) Q = c_p⋅m⋅ΔT

Bei der Aufgabe gibt es den Sonderfall, dass unterschiedliche Kombinationen aus Wasser und Calciumoxid die benötigte Wärmemenge bereitstellen können. Daher wird in einer ersten Näherung zunächst mit 1Mol Calciumoxid (56g) und 100g Wasser gerechnet. Da das Calciumoxid selbst auch erwärmt werden muss, sollte man es bei der Masse m berücksichtigen.

Berechnung von ΔT für 0,1kg Wasser und einem Mol Calciumoxid (0,056kg), d.h. zunächst Umstellung von (1) nach ΔT.

(2) ΔT = Δ_RH ⋅ c_Wasser^-1 ⋅ m^-1

Danach ist bekannt, welches ΔT ein Einsatz von einem Mol Calciumoxid zusammen mit 0,156kg Masse innerhalb der Dose bewirkt. Die Wärmemenge aus dem Mantel wird an den Doseninhalt abgegeben, ist also positiv.

Das muss lediglich hochgerechnet werden auf ΔT = 55K. Dabei handelt es sich um einen einfachen Dreisatz, weil die Gleichung proportional ist (nur Multiplikation, lineare Gleichung).

Man erhält dann eine Stoffmenge an Calciumoxid, die man über die bekannte molare Masse M in eine Masse umrechnen kann.

Rechnung:
ΔT = 65kJ / (4,19kJ⋅kg^-1⋅K^-1⋅0,156kg)^-1 ≈ 99,4K
Mit einem Mol Calciumoxid und 0,1kg Wasser lässt sich als eine Temperaturerhöhung von 99,4K im Dosenmantel erreichen.

1 mol/99.4K = x mol / 55K
x = 55K⋅1mol/99,4K ≈ 0,55mol
Man benötigt also 0.55mol Calciumoxid für eine Erwärmung um 55K.

0,55mol⋅56g/mol ≈ 30,8g
Es wird eine Masse von 30,8g Calciumoxid benötigt, um eine Erwärmung von 55K im Dosenmantel zu erreichen.

Alternativer Ansatz:

Welche Wärmemenge Q wird benötigt, um 0,2kg Wasser um 55K zu erwärmen?
Q = (4,19kJ⋅kg^-1⋅K^-1 ⋅ 0,2kg ⋅ 55K ≈ 46kJ

Welche Menge an Calciumoxid ist dafür erforderlich?
1 Mol Calciumoxid gibt 65kJ an die Umgebung ab. Wie viel Mol geben 46kJ an die Umgebung ab? 1 mol/65kJ = x mol / 46kJ
x = 46kJ⋅1mol/65kJ ≈ 0.7mol

Das entspricht einer Masse von 0.7mol * 56g/mol = 39,2g.

Man setzt 30,8g Calciumoxid und 0,1kg zusätzliches Wasser für die Erwärmung ein. Diese Stoffe müssen genau wie die Dose selbst durch die Reaktion mit erwärmt werden. Zusätzlich ist in der Realität nicht von einem geschlossenem System auszugehen, sodass Wärmeverluste auftreten.

Der Satz von Hess besagt, dass die Menge der umgesetzten Energie nicht vom Reaktionsweg abhängt. Die Gleichung

Δ_RH₁ = Δ_RH₂ + Δ_RH₃ lässt sich umstellen zu:
Δ_RH₃ = Δ_RH₁ - Δ_RH₂

Damit ist Δ_RH₃ berechenbar.