Inhaltsverzeichnis
Gruppe: Schriftliche Multiplikation
Aufgaben
- Versuchen Sie, das auf dem Arbeitsblatt bereitgestellte Verfahren mit einem eigenen Beispiel nachzuvollziehen. Beginnen Sie mit 131 · 15.
- Überlegen Sie, in welchen unterrichtlichen Kontexten das Verfahren eingesetzt werden könnte.
- Überlegen Sie, für welche Schüler:innen das Verfahren hilfreich sein könnte.
- Was könnte die Motivation der Lehrkräfte gewesen sein, ein solches Verfahren zu entwickeln?
Das Arbeitsblatt wurde im Wesentlichen mit dieser Quelle erstellt: https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Multiplikation - diese wurde erst auf der ersten Ergebnisseite einer bekannten Suchmaschine gefunden. KI basierte Erklärungen des Verfahrens waren durchgängig falsch oder ungenau.
Verfahren
Das allgemein übliche Verfahren besteht darin, die Multiplikation von zwei mehrstelligen Zahlen durch eine Reihe von einfacheren Rechenschritten zu ersetzen. Dazu wird eine der beiden Zahlen so in eine Summe zerlegt, dass jeder Summand höchstens eine Ziffer hat, die ungleich 0 ist. Jeder dieser Summanden wird anschließend einzeln mit der anderen Zahl multipliziert. Schließlich werden alle dabei entstehenden Teilergebnisse addiert.
Bei der Zerlegung in eine Summe entstehen Zahlen, die mit vielen Nullen aufhören. Um Schreibarbeit zu sparen, werden diese Nullen üblicherweise nicht mitgeschrieben, sondern ergeben sich durch die Position, an der die Zahlen während der Rechnung aufgeschrieben werden.
In etwas formalerer Schreibweise lässt sich dieser Algorithmus so formulieren:
Eingaben:
Zwei natürliche Zahlen in Ziffernschreibweise
Ablauf:
- Zerlege eine der Zahlen in ihre Ziffern.
- Für jede dieser Ziffern:
- Berechne das Produkt aus dieser Ziffer und der anderen Zahl.
- Ergänze das Produkt um Nullen, abhängig von der Position der Ziffer. Die letzte Ziffer bekommt keine Null, jede Ziffer weiter vorne eine Null mehr.
- Addiere alle Teilergebnisse aus Schritt 2, die Summe ist das Endergebnis.
Ausgabe:
- Das Endergebnis ist das Produkt der beiden Eingaben, in derselben Ziffernschreibweise wie die Eingaben.
Anmerkungen:
- Dieses Verfahren funktioniert sowohl im Dezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9 als auch in jedem anderen Stellenwertsystem.
- Wenn die Teilmultiplikation in Schritt 2 zu kompliziert erscheint, kann dafür die schriftliche Multiplikation erneut ausgeführt werden, indem die andere Zahl in Ziffern zerlegt wird. Die Schritte dieser Teilmultiplikationen sind dann so einfach, dass sie in einer Tabelle des kleinen Einmaleins nachgeschaut werden können.
- Die Reihenfolge, in der die Zwischenergebnisse berechnet werden, hat keine Auswirkung auf das Endergebnis. Daher ist es egal, ob die erste Ziffer zuerst multipliziert wird oder die letzte Ziffer oder in beliebiger Reihenfolge.
Beispiel
Die Zahl 9731 kann man in die Summe 9000 + 700 + 30 + 1 zerlegen. Das Produkt 8642 ⋅ 9731 kann man daher in diese Teilprodukte zerlegen:
8642⋅9000
+8642⋅700
+8642⋅30
+8642⋅1
Die Summe dieser Teilprodukte ergibt das Gesamtprodukt.
Die Nullen, die beim Zerlegen hinzugefügt werden, muss man nicht unbedingt alle aufschreiben, dann muss man jedoch aufpassen, dass alle Zahlen trotzdem an die richtige Position geschrieben werden. Das passiert üblicherweise, indem man Karopapier verwendet. Zur Erläuterung sind diese Nullen in den Grafiken rot dargestellt.
Unter Verwendung des kleinen Einmaleins und Addition erhält man für die Zeilen:
Das ganze Schema mit verkürzter Notation der Zeilen ist dann:
Dezimalstellen und Vorzeichen
Hat mindestens ein Faktor Nachkommastellen, so wird die Multiplikation zunächst so durchgeführt, als ob es ganze Zahlen wären. Danach muss man ein Komma so setzen, dass die Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses gleich der Summe der Anzahl an Nachkommastellen der Faktoren ist.
Hat mindestens ein Faktor ein negatives Vorzeichen, so multipliziert man zuerst die Beträge und bestimmt danach das Vorzeichen mit Hilfe der Vorzeichenregeln.