Du hast bestimmt die Erfahrung gemacht, dass sich manche Oberflächen „kälter“ anfühlen als andere. Wenn du z.B. auf eine Metallplatte oder Holzplatte fasst, wirkt das Metall deutlich kälter. Das liegt daran, dass die meisten Metalle viel mehr Wärme „speichern“ können als z.B. Holz. Die Wärme aus deiner Hand wird sehr schnell auf das Metall übetragen, deiner Hand wird Wärme entzogen, was du als „Kälte“ fühlst.
Um das Speichervermögen an Wärme von unterschiedlichen Körpern quantitativ erfassen zu können, wurde die Wärmekapazität C eingeführt.
Die Wärmekapazität C eines Körpers ist das Verhältnis der ihm zugeführten Wärme Q zu der damit bewirkten Temperaturerhöhung ΔT. Das Delta Δ steht immer für eine Differenz, hier die Differenz aus der Anfangstemperatur TA und Endtemperatur TE.
$$C = \frac{Q}{\Delta T}$$
Die Einheit ist Joule pro Kelvin.
$$[C] = \frac{J}{K}$$
Man kann die Wärmekapazität C von beliebigen Körpern bestimmen, z.B. von einem Kalorimeter, aber man möchte in der Regel die Wärmekapazität von reinen Stoffen wie Wasser oder Kupfer miteinander vergleichen können. Dabei ist natürlich immer auch entscheidend, wie viel Masse eines Stoffes vorliegt. Man bezieht sich dabei auf die SI-Einheit Kilogramm.
Die spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes ist das Verhältnis der ihm zugeführten Wärme Q zu der damit bewirkten Temperaturerhöhung ΔT multipliziert mit seiner Masse.
$$c = \frac{Q}{m \cdot \Delta T}$$
Die Einheit ist Joule pro Kilogramm und Kelvin.
$$[c] = \frac{J}{kg \cdot K}$$
Beispielsweise beträgt die spezifische Wärmekapazität von flüssigem Wasser etwa $c=4,2 \frac{kJ}{kg \cdot K}$. Das bedeutet, dass man einem Kilogramm Wasser eine Wärmemenge Q von 4,2 kJ zuführen muss, um es um 1K bzw. 1°C zu erwärmen.
Stellt man die Definitionsgleichung der spezifische Wärmekapazität nach ihren unterschiedlichen Größen um, lassen sich verschiedene Größen durch geeignete Experimente bestimmen. Das kannst du mit deinem Taschenrechner sehr einfach selbst machen, indem du die Gleichung mit der solve{}-Funktion nach der jeweiligen Größe umstellst. Du musst ggf. aufpassen das ΔT z.B. durch ein einfaches „x“ zu substituieren. Weil dein Taschenrechner das Δ als Differenz zweier Werte interpretieren könnte.
\begin{align*} c & = \frac{Q}{m \cdot \Delta T} \space \space \bigg \vert \cdot \frac{1}{Q} \\ \Leftrightarrow \frac{c}{Q} & = \frac{1}{m \cdot \Delta T} \space \space \bigg \vert \cdot \frac{1}{c} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{Q} & = \frac{1}{c \cdot m \cdot \Delta T} \space \space \bigg \vert ^{-1}\\ \\ \Leftrightarrow Q & = c \cdot m \cdot \Delta T \end{align*}
Diese Gleichung begegnet dir übrigens sehr oft in der Energetik. Letztlich ist es nur die nach Q umgestellte Definitionsgleichung der spezifischen Wärmekapazität.
Hier muss man sich klarmachen, dass sich die Masse m immer auf das Medium bezieht, welches die Wärme aufnimmt - das ist oft Wasser, dessen Dichte man i.d.R. mit 1g/mL ansetzt.
\begin{align*} c & = \frac{Q}{m \cdot \Delta T} \space \space \bigg \vert \cdot m \\ \Leftrightarrow c \cdot m & = \frac{Q}{\Delta T} \space \space \bigg \vert \cdot \frac{1}{c} \\ \Leftrightarrow m & = \frac{Q}{c \cdot \Delta T} \end{align*}
Hier müssen wir das ΔT auflösen zu TE-TA - (Endtemperatur - Anfangstemperatur).
\begin{align*} c & = \frac{Q}{m \cdot \Delta T} \\ \Leftrightarrow c & = \frac{Q}{m \cdot (T_E-T_A)} \space \space \bigg \vert \cdot (T_E-T_A) \\ \Leftrightarrow c \cdot (T_E-T_A) & = \frac{Q}{m} \space \space \bigg \vert \cdot \frac{1}{c}\\ \Leftrightarrow (T_E-T_A) & = \frac{Q}{c \cdot m} \space \space \bigg \vert -T_E\\ \Leftrightarrow -T_A & = \frac{Q}{c \cdot m} - T_E \space \space \bigg \vert \cdot -1\\ \Leftrightarrow T_A & = -\frac{Q}{c \cdot m} + T_E \\ \Leftrightarrow T_A & = T_E -\frac{Q}{c \cdot m} \end{align*}
Hier müssen wir das ΔT auflösen zu TE-TA - (Endtemperatur - Anfangstemperatur).
\begin{align*} c & = \frac{Q}{m \cdot \Delta T} \\ \Leftrightarrow c & = \frac{Q}{m \cdot (T_E-T_A)} \space \space \bigg \vert \cdot (T_E-T_A) \\ \Leftrightarrow c \cdot (T_E-T_A) & = \frac{Q}{m} \space \space \bigg \vert \cdot \frac{1}{c}\\ \Leftrightarrow (T_E-T_A) & = \frac{Q}{c \cdot m} \space \space \bigg \vert +T_A\\ \Leftrightarrow T_E & = T_A + \frac{Q}{c \cdot m} \end{align*}
Damit kannst du jetzt die unterschiedlichsten Aufgaben lösen. Du musst nur ermitteln, nach welcher Größe im jeweiligen Fall gefragt wird. Prinzipiell kannst du jede Gleichung auswendig lernen - allerdings ist der Weg über das Umformen per Hand oder den Taschenrechner natürlich jederzeit möglich, sodass du dann nur von einer einzigen Gleichung ausgehen musst.
Sehr oft wird dir nicht direkt die Masse m gegeben, sondern du musst dir diese aus $M=\frac{m}{n}$ berechnen. Oder du erhältst eine Wärmemenge Q, die z.B. auf ein Mol bezogen ist, sodass du auch hier umrechnen musst. In den Aufgabentypen findest du zwei Anwendungsfälle.
Q ist gesucht
Ein Fitnessinfluencer bewirbt in seinen Videos, dass das Trinken von drei Litern kaltem Wasser (12°C) bereits einen nennenswerten Beitrag zum Kalorienverbrauch leistet.
Die Durchschnittskörpertemperatur eines Menschen beträgt etwa 36-37°C und ist auch immer davon abhängig, wo genau gemessen wird. Der Einfachheit halber nehmen wir einen Wert von 36,5°C an. Auf diesen Wert wird das Wasser durch den Körper erwärmt, bevor es ihn wieder verlässt.
Welche Energiemenge in Form von Wärmeenergie ist dazu notwendig?
Vordergründig(!) ist m gesucht
Beim Lösen einer bestimmten Masse an Natriumhydroxid erwärmen sich 500mL Wasser von 20°C auf 30°C. Die molare Reaktionswärme Qr beträgt 44,5kJ/mol. Welche Masse an Natriumhydroxid wurde eingesetzt?
m ist wirklich (auch) gesucht
Ein großes Problem der Energiewende besteht darin, die im Sommer im Übermaß vorhandene Energie für den Winter zum Heizen zu speichern. Ein um die 2000er-Jahre gebautes Einfamilienhaus benötigt etwa 10.000kWh Energie für die Heizung pro Jahr. 1kWh entsprechen einer Energiemenge von 3600kJ.
In Finnland wird in der Nähe von Tampere ein Sandspeicher als Energiespeicher erprobt. Die spezifische Wärmekapazität c von trockenem Sand beträgt etwa 0,5kJ/(kg⋅K), seine Dichte δ etwa 1900kg/m3.
Um ausreichend Energie speichern zu können, muss Sand von einer Starttemperatur von 15°C auf mindestens 400°C erwärmt und in einem gut isolierten Speicher eingelagert werden.
Welches Innenvolumen müsste ein Sandspeicher für das beispielhafte Einfamilienhaus und unter der Annahme aufweisen, dass es bei dieser Konstellation etwa 35% Energieverluste gibt?
Darf man immer mit der Wärmekapazität von Wasser bei 20°C rechnen?
Wir haben oben mit der Wärmekapazität für 20°C gerechnet und dafür stets 4,2kJ(kg⋅K) als Wert verwendet, der schon ein gerundeter Wert ist. Die Wärmekapazität hängt aber von der Temperatur ab. Hier findest du einige Werte (Quelle):
| Temperatur [°C] | Wärmekapazität [KJ/(kg*K)] |
|---|---|
| 12 | 4,1893 |
| 13 | 4,1880 |
| 14 | 4,1869 |
| 15 | 4,1858 |
| 16 | 4,1849 |
| 17 | 4,1840 |
| 18 | 4,1832 |
| 19 | 4,1825 |
| 20 | 4,1819 |
| 21 | 4,1813 |
| 22 | 4,1808 |
| 23 | 4,1804 |
| 24 | 4,1800 |
| 25 | 4,1796 |
| 26 | 4,1793 |
| 27 | 4,1790 |
| 28 | 4,1788 |
| 29 | 4,1786 |
| 30 | 4,1785 |
| 31 | 4,1784 |
| 32 | 4,1783 |
| 33 | 4,1783 |
| 34 | 4,1782 |
| 35 | 4,1782 |
| 36 | 4,1783 |
| 37 | 4,1783 |
Welchen Fehler machen wir, wenn wir in diesem Bereich die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität des Wasser nicht berücksichtigen?